Đơn thức là gì? Cách tính đơn thức và các dạng bài tập thường gặp

Đơn thức là một trong những kiến thức quan trọng mà các em cần nắm rõ để làm tốt các dạng bài tập toán lớp 7 thuộc chương trình Trung học Cơ sở. Vì vậy, để giúp các bạn học sinh hiểu rõ và củng cố thêm phần kiến thức này, thì dưới đây là những lý thuyết kèm theo các bài tập vận dụng liên quan đến đơn thức là gì? Bậc của đơn thức? Các dạng bài tập thường gặp về đơn thức? Do đó, các bạn đừng bỏ qua những thông tin dưới đây của chúng tôi nhé!

Đơn thức là gì? Khái niệm đơn thức

Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Khái niệm: Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, một biến, một tích hoặc một thương giữa các số và các biến hay một hạng tử. Ký hiệu của đơn thức là f(x). Ngoài ra, số 0 sẽ được gọi là đơn thức không.

Các bậc đơn thức

Các bậc của đơn thức mà bạn cần lưu ý và hiểu rõ:

• Với một đơn thức bất kỳ nào đó mà khác 0, thì bậc của đơn thức chính là tổng số mũ của tất cả các biến chứa trong đơn thức đó cộng lại. Ví dụ: Đơn thức 2xy³ sẽ có bậc là 4; Đơn thức 5xyz sẽ có bậc là 3
• Tất cả số thực khác không luôn có bậc bằng 0. Ví dụ: Đơn thức 9 hay -5 đều có bậc là 0
• Một đơn thức không có bậc khi đơn thức đó là số 0. Ví dụ: Số 0 là đơn thức không bậc

Cách tìm bậc đơn thức

Muốn tìm bậc của một đơn thức ta thực hiện 3 bước sau đây:

• Bước 1: Đưa đơn thức đó về dạng đơn thức thu gọn. Tiếp đến, ta liệt kê tất cả các biến có trong đơn thức đó
• Bước 2: Xác định số mũ của từng biến đã liệt kê trước đó (ở bước 1)
• Bước 3: Cộng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó. Như vậy ta sẽ tìm được bậc của đơn thức đã cho chính là tổng các số mũ vừa tính được.

Ví dụ: Cho đơn thức: 5x³y²z

• Bước 1: Đơn thức 5x³y²z đã là một đơn thức rút gọn. Sau đó ta liệt kê các biến lần lượt là x³; y²; z
• Bước 2: Trong đơn thức 5x³y²z thì số mũ của biến x là 3; số mũ của biến y là 2 và số mũ của biến z là 1.
• Bước 3: Tổng tất cả số mũ lại của các biến trong đơn thức trên là 3 + 2 + 1 = 6. Khi đó ta nói bậc của đơn thức đã cho là bậc 6.

Cách tính đơn thức và bài tập ví dụ

Có rất nhiều cách tính đơn thức, để giúp các bạn có thể nhận dạng và biết làm các dạng bài tập liên quan đến đơn thức, thì dưới đây là một số cách tính đơn thức phổ biến và thường có trong các bài tập ở trường. Đồng thời, các cách tính đơn thức này còn kèm theo ví dụ nhằm giúp bạn có thể dễ hiểu hơn.

Cách nhân đơn thức với đơn thức

Muốn nhân hai đơn thức chứa hệ số và biến số, ta sẽ nhân các hệ số và nhân các phần biến số với nhau. Khi nhân hai đơn thức, ta kết hợp phép nhân các số và quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số với nhau. Tất cả đơn thức chưa được rút gọn dù dài hay ngắn, chúng ta đều có thể viết thành đơn thức thu gọn.

Ví dụ 1: Nhân hai đơn thức: -5xy³ và 125x⁵y²

(-5xy³)( 125x⁵y²)=-625(xy³)(x⁵y²)=-625 (xx⁵)(y³y²)=-625x⁶y⁵.

Ta nói đơn thức -625x⁶y⁵ là tích của hai đơn thức -5xy³ và 125x⁵y²

Ví dụ 2: Nhân đơn thức: -14x³ và -8xy²

Ta có: -14x³(-8xy²)=-(14)(-8)(x³x)y² = 112(x³x)y²=112x⁴y²

Ta nói đơn thức 112x⁴y² là tích của hai đơn thức -14x³ và -8xy²

Cách cộng trừ đơn thức

Để cộng hoặc trừ những đơn thức đồng dạng thì chúng ta chỉ cần cộng hoặc trừ phần hệ số của các đơn thức đồng dạng đã cho và giữ nguyên phần biến, vì đơn thức đồng dạng các phần biến sẽ giống nhau, nên ta chỉ cần tính phần hệ số.

Ví dụ 1: Ta có đơn thức: 5x²y³ + 8x²y³ = (5+8)x²y³=13x²y³

Ví dụ 2: Ta có đơn thức: 2x²y³ – 5x²y³ = (2-5)x²y³=-3x²y³

Cách thu gọn đơn thức

Để có thể thu gọn một đơn thức các bạn cần thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Xác định dấu duy nhất có trong đơn thức đã cho để thay thế cho các dấu có trong đơn thức cần rút gọn. Dấu duy nhất là dấu “+” trong trường hợp đơn thức đó không chứa dấu “-” nào, hoặc chứa 1 số chẵn số lần dấu “-”. Trong trường hợp đơn thức không chứa một dấu “+” nào hoặc chứa 1 số lẻ lẫn dấu “-” thì sẽ là dấu “-”.
• Bước 2: Nhóm các thừa số là số hoặc là những hằng số và nhân chứng với nhau.
• Bước 3: Nhóm các biến và xếp các biến theo thứ tự chữ cái giống nhau, ví như trong đơn thức có hai biến x hay hai biến y thì chúng ta nhóm chúng lại với nhau để cộng số mũ.

Ví dụ: Thực hiện rút gọn đơn thức 7xy²(-3)zyx³:

Ta sẽ được: 7xy². (-3)zyx³ = 7.(-3).(xx³).(y²y).z = -21x⁴y³z

Cách chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia một đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta có thể làm như sau:

• Bước 1: Đầu tiên ta chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Bước 2: Tiếp đó ta phải chia lũy thừa của từng biến có trong A cho lũy thừa của từng biến có trong B.
• Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau để ra đáp án.

Ví dụ: Chia đơn thức 39x⁵ : 13x²

Ta có: Hệ số của đơn thức A là 39 và hệ số của đơn thức B là 13; Lũy thừa của biến A là x⁵ và lũy thừa của biến B là x²

Ta sẽ được: 39x⁵ : 13x² = (39 : 13).(x⁵ : x²) = 3x³

Cách chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), thì trước tiên ta chia mỗi hạng tử của A cho B, rồi sau đó cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: (- 2x⁵ + 6x² – 4x³):2x²

Ta có: (- 2x⁵ + 6x² – 4x³) : 2x² = (- 2x⁵ : 2x²) + (6x² : 2x²) – (4x³ : 2x²)= – x³ – 2x + 3.

Cách nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi sau đó cộng các tích vừa nhân được của chúng lại với nhau thì sẽ ra được kết quả cần tìm.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: x²(5x³ – x – 1/2)

Ta có: x²(5x³ – x –1/2) = (x². 5x³)+ [x² . (-x)] + [x² . (-1/2)]= 5x⁵ – x³ – 1/2x²

Cách chia đa thức cho đa thức

Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức bất kỳ của cùng một biến số, nhưng B phải khác 0 (B≠0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức là Q và R sao cho A=B.Q+R, trong đó R phải bằng 0 (R=0) hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B khi đó ta mới chia được hai đa thức với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép chia: (125x³+1):(5x+1)

Ta có: (125x³+1):(5x+1)=[(5x)³+1]:(5x+1)=(5x)²−5x+1=25x²−5x+1

Cách nhân đa thức với đa thức

Để có thể thực hiện nhân một đa thức A với một đa thức B, ta làm theo quy tắc sau: Trước tiên, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức A với từng hạng tử của đa thức B rồi cộng các tích lại với nhau.

Ví dụ: Tính (x – 5). (2x+ 1)

Ta có: (x- 5). (2x +1) = x. (2x+ 1) – 5. (2x+ 1)

= x .2x + x.1 – 5.2x – 5.1

= 2x² + x – 10x – 5

= 2x² + (x- 10x) – 5

= 2x² – 9x – 5

Các dạng toán thường gặp

Những dạng bài toán về đơn thức mà các bạn thường hay gặp phải trong các kì thi hoặc khi làm bài tập ở trường có 3 dạng như sau:

Dạng 1: Nhận biết đơn thức

Để nhận biết một đơn thức, ta cần căn cứ vào định nghĩa của đơn thức. Sau đó xem xét các phần tử trong biểu thức đại số bao gồm: một số, một biến hoặc tích giữa các số và các biến để từ đó đưa ra kết luận.

Bài tập để củng cố kiến thức:

Bài tập 1: Xác định những câu dưới đây có phải là đơn thức hay không và nếu là đơn thức thì hãy chỉ ra đâu là phần hệ số và đâu là phần biến.

a/ 5x²y³

b/ 8 – x²

c/ 7/3+ 7x

d/ 6xz

Lời giải:

• Đơn thức là a và d, bởi chúng là tích của các hệ số và biến. Cụ thể: Trong đơn thức 5x²y³ có: 5 là phần hệ số và x²y³ là phần biến; Trong đơn thức 6xz có: 6 là phần hệ số và xz là phần biến.
• Biểu thức b và c không phải là đơn thức, bởi chúng đồng thời chứa cả phép trừ, phép cộng.

Bài tập 2: Cho biết phần hệ số, phần biến của mỗi đơn thức sau: 2,5x²y; 0,25x²y²

Lời giải:

• Đơn thức 2,5x²y có hệ số là 2,5; phần biến là x²y
• Đơn thức 0,25x²y² có hệ số là 0,25; phần biến là x²y²

Bài tập 3: Bạn Bình viết ba ví dụ về đơn thức như sau: (5-x)x²; -5/9x²y; -5

Em hãy kiểm tra xem bạn viết như vậy đã đúng hay chưa?

Lời giải:

• Trong ba ví dụ về đơn thức mà bạn Bình đã viết, thì có đúng 2 đơn thức đó là -5/9x²y; -5
• Biểu thức (5-x)x² = 5x²-x³ không phải là một đơn thức, vì trong biểu thức có chứa phép trừ.

Dạng 2: Tính giá trị của đơn thức

Phương pháp giải dạng bài tập tính giá trị của đơn thức thì đầu tiên chúng ta sẽ thay giá trị của các biến đã cho vào đơn thức cần tính, sau đó thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân chia như bình thường.

Bài tập để củng cố kiến thức:

Bài tập 1: Tính tích của những đơn thức dưới đây và xác định bậc của đơn thức vừa tìm được. Sau đó tính giá trị của đơn thức thu được với x = -1; z = 2; y = 2.

a) xyz ; x³yz ; -4yz²

b) 5xy ; 3yz ; -7y²z³

Lời giải: 

a) Tích của các đơn thức xyz; x³yz ;-4yz² là:

(xyz) . (x³yz) . (-4yz²) = -4.x.x³.y.y.y.z.z.z² = -4x⁴y³z⁴

• Đơn thức thu được là: -4x⁴y³z⁴ có bậc là 11
• Giá trị của đơn thức -4x⁴y³z⁴ tại x = -1 ; y = 2; z = 2 là: -4x⁴y³z⁴= -4.(-1)⁴.2³ .2⁴= -4. 1. 8. 16  = -512 

b) Tích của các đơn thức 5xy; 3yz; 7y²z³ là:

(5xy) . (3yz) . (-7y²z³) = 5.3.(-7).x.y.y.y².z.z³ = -105xy⁴z⁴

• Đơn thức thu được là: -105xy⁴z⁴ có bậc là 9
• Giá trị của đơn thức -105xy⁴z⁴ khi  x = -1 ; y = 1; z = 2 là: -105xy⁴z⁴ = -105. (-1). 1. 16 = 1680

Bài tập 2: Tính giá trị của các đơn thức sau:

a) 9x³y³ tại x = -1, y= -1/3

b, -1/5x³y² tại x = -2, y = 1

Lời giải:

a) Tại x = -1, y= -1/3 thì 9x³y³= 9.(-1)³.(-1/3)³= 1/3

b) Tại x = -2, y = 1 thì -1/5x³y²= -1/5.(-2)³.1²= 8/5

Dạng 3: Tính tích các đơn thức

Để giải bài tập nhân hai đơn thức với nhau, thì chúng ta sẽ tiến hành nhân các hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau (các phần biến thì chúng ta cũng sắp xếp theo thứ tự bằng các chữ cái giống nhau và cộng số mũ của các chữ cái giống nhau lại).

Bài tập để củng cố kiến thức:

Bài tập 1: Từ những đơn thức đã cho, hãy tính tích của chúng và cho biết bậc của đơn thức đã thu được.

a) 3x²y và xy²

b) x²y và 2x²yz³

Lời giải: 

a) Tích của 2 đơn thức 3x²y và xy² là: (3x²y) . (xy²) = 3. x². x . y. y² = 3x³y³

Đơn thức thu được là: 3x³y³ có bậc là 6.

b) Tích của 2 đơn thức x²y và 2x²yz³ là: (xy) . (2xyz³) = 2. x. x. y . y . z³ = x²y²z³

Đơn thức thu được là: x²y²z³ có bậc là 7.

Bài tập 2: Tính (-4x³y²).(5/4xy³)

Lời giải:

Ta có: (-4x³y²).(5/4xy³)= (-4.5/4).(x³x).(y²y³)= -5x⁴y⁵

Đơn thức thu được là: -5x⁴y⁵ có bậc là 9; Hệ số là -5 và phần biến là x⁴y⁵

Xem thêm:

• Cách Tính Mét Vuông (m2) Chính Xác, Đơn Giản Nhất
• Khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến? Công thức và bài tập có giải
• Hỗn số là gì? Khái niệm, cách tính hỗn số và bài tập ví dụ minh họa

Trên đây là những kiến thức về đơn thức giúp các bạn nắm vững thêm phần kiến thức này. Hy vọng, các bạn sẽ hiểu đơn thức là gì? Cách tính đơn thức và các dạng bài tập thường gặp. Cùng với đó là một số phép toán về đơn thức nhằm giúp các bạn học sinh dễ dàng nắm vững bài học một cách hiệu quả hơn.