Đường trung tuyến là gì? Các định lý, tính chất, công thức và các dạng toán thường gặp

Đường trung tuyến của tam giác là một trong những kiến ​​thức cơ bản mà học sinh phải nắm vững để vận dụng vào các bài tập, bài thi. Nếu bạn quên, đừng lo lắng vì bài viết này sẽ giúp bạn củng cố kiến ​​thức chung của mình về đường trung tuyến là gì? Các tính chất về đường trung tuyến trong tam giác là gì? Các dạng bài tập về đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt là gì?

Định nghĩa đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác?

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Đường trung tuyến của một tam giác gồm có 3 tính chất đó là:

• Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
• Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

VD:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC và có các trung tuyến AI, BM, CN nên ta sẽ có biểu thức: AG/AI = BG/BM = CG/CN = 2/3

Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác, đường trung tuyến có 3 định lý đó là:

• Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. gọi là trọng tâm của tam giác đó.
• Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
• Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tính chất đường trung tuyến trong tham giác vuông:

• Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
• Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
• Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

VD:

ABC vuông có AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A.

Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân:

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

VD:

ABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADC

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều:

• 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
• Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

VD:

ΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFC

Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến

Chúng ta có thể tính được độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng cách lấy căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối (Định lý Apollonnius)

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

m_a, m_b, m_{c lần} lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

Các dạng toán thường gặp về đường trung tuyến

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng

Phương pháp giải: Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác, xác định 3 đường trung tuyến của tam giác

VD: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC?

Bài giải: 

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

+Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3AD ₍₁₎

+CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên CG= 2/3CE₍₂₎

+BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên BG= 2/3BF₍₃₎

Ta có ΔBAC đều =>AD = BF = CE ₍₄₎

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CG

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt

Phương pháp giải:

• Trong tam giác vuông: Xác định đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
• Trong tam giác cân, tam giác đều: Xác định được trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
  

VD: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM?

a) Chứng minh: AM ⊥ BC?
b) Tính độ dài AM?

Bài giải: 

a) Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC

Mặt khác ABC cân tại A

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b) Ta có:

+BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

+AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC² = AM² + MC² => 172= AM² + 82 => AM² = 172- 82= 225 =>AM= 15Cm.

Xem thêm: 

• Đề kiểm tra học kì 1 môn toán lớp 3 chương trình mới 2022-2023 có đáp án
• 7 cách viết ký hiệu toán học trong word đơn giản nhanh chóng
• 10 cách học giỏi toán hiệu quả nhất cho người mất gốc

Thông qua bài viết hôm nay, chúng ta có thể nhớ lại và xem lại những lý thuyết về đường trung tuyến. Hy vọng những kiến ​​thức bổ ích này sẽ giúp các bạn ôn tập và rèn luyện kiến ​​thức một cách tốt nhất, hiệu quả nhất để đạt được nhiều thành tích cho bản thân mình nhé!