Hàm số bậc nhất là gì? Công thức, định nghĩa và bài tập ứng dụng

Hàm số bậc nhất là kiến thức toán học thường gặp trong các kỳ thi quan trọng. Các bạn hãy cùng Bamboo School tìm hiểu chi tiết về công thức, định nghĩa và bài tập ứng dụng để hiểu rõ hơn về dạng toán này trong bài viết bên dưới.

Hàm số bậc nhất là gì

Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được định nghĩa dưới dạng công thức y = ax + b. Trong đó, a và b là các số đã biết với a khác 0. Nếu b = 0, hàm số bậc nhất được rút gọn thành y = ax.

Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị của x trên R. Đặc biệt:

• Nếu a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
• Nếu a > 0, hàm số đồng biến trên R.

Các dạng toán thường gặp ở hàm số bậc nhất

Có hai dạng toán thường gặp ở hàm số bậc nhất. Bao gồm:

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với a ≠ 0.

Ví dụ: Hãy đưa ra điều kiện của m để các hàm số sau là bậc nhất?

A, y = (m2 – 2x).2 + (m + 1)x + m

B, y = (m – 1)x + m

Cách làm:

A, Để y = (m2 – 2x).2 + (m + 1)x + m là hàm số bậc nhất cần thỏa mãn yêu cầu a ≠ 0 theo định nghĩa y = ax + b.

Theo đó, hàm số y = (m2 – 2x).2 + (m + 1)x + m

⇔ y = 2m2 – 4x + mx + x + m

⇔ y = (m – 3)x + 2m2 +m

Trong đó, m – 3 ≠ 0 sẽ thỏa mãn yêu cầu.

Vậy với mọi m, m ≠ 3 là đáp án.

B, Để y = (m-1)x + m là hàm số bậc nhất  thì m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Vậy với m ≠ 1, hàm số y = (m-1)x + m là hàm số bậc nhất.

Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

Với dạng bài tìm m để các hàm số đồng biến, nghịch biến, các bạn có thể tham khảo ví dụ sau:

Tìm m để các hàm số dưới đây:

A, y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên R

B, y = (m + 2)x + 3 đồng biến trên R

Hướng dẫn cách giải

A, y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên R

Để y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên R thì m2 – m < 0

⇔ m(m – 1) < 0

⇔ 0 < m < 1

B, y = (m + 2)x + 3 đồng biến trên R

Để y = (m + 2)x + 3 đồng biến trên R thì m + 2 > 0

⇔ m > -2

Bài tập cơ bản và nâng cao của hàm số bậc nhất

Để các bạn tự tin hơn khi giải các bài toán về hàm số bậc nhất, hãy cùng tham khảo một số dạng bài cơ bản và nâng cao dưới đây:

Bài tập 1: Cho hàm số y = (2m + 1)x – m + 3

A, Hãy tìm m để đồ thị đi qua điểm A (-2;3)

B, Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Lời giải

A, Đồ thị y = (2m + 1)x – m + 3 đi qua điểm A (-2;3)

⇒ 3 = (2m + 1). (-2) – m + 3

⇔ 3 = -4m – 2 – m + 3

⇔ 5m = -2

⇔ m = -2/5

Vậy m = -2/5 đồ thị y = (2m + 1)x – m + 3 đi qua điểm A (-2;3)

B, Với hàm số y = (2m + 1)x – m + 3. Giả sử điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m là (x0; y0). Khi đó:

y0 = (2m + 1)x0 – m + 3 đúng với mọi m

⇒ y0 – (2m + 1)x0 + m – 3 = 0

⇔ y0 – 2mx0 – x0 + m – 3 = 0

⇔ m(2×0 – 1) + x0 – y0 = 0

Kết luận: Điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (2m + 1)x – m + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m là (1/2; 7/2)

Bài tập 2: Tìm đường thẳng qua điểm A(0; 3) và điểm B(-2; 0)

Bài giải:

Gọi đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b. Khi đó ta có:

A(0; 3) ∈ AB nên có phương trình 3 = a.0 + b ⇒ b = 3

B(-2;0) ∈ AB nên có phương trình 0 = a.(-2) + b ⇒ b – 2a = 0 ⇔ 2a = b = 3

⇔ a = 3/2

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 3) và điểm B(-2; 0) là

y = (3/2)x + 3

Bài tập 3: Cho hai đường thẳng

(d1) y = 12x + 5 – m

(d2 ) y = 3x + 3 + m

Hãy xác định điểm m để giao điểm của hai đường thẳng trên nằm bên trái trục tung.

Cách làm

Hoành độ giao điểm của hàm số bậc nhất (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình:

12x + 5 – m =  3x + 3 + m

⇔ 9x = 2m – 2

⇔ x = (2m – 2)/9 và y = 3.((2m -2)/9) + 3 + m = (6m -6)/9 +3 + m = 5m/3 +7/3

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là A(2m – 2; 5m/3 +7/3)

Bài viết trên đã giới thiệu chi tiết về hàm số bậc nhất và các dạng toán thường gặp. Các bạn hãy cùng Bambooschool.edu.vn theo dõi và tìm hiểu nhiều hơn về dạng toán này để áp dụng trong kỳ thi của mình.