Hình bình hành: Dấu hiệu nhận biết, 5 cách chứng minh hình bình hành và bài tập minh họa

Hình bình hành là một khái niệm quen thuộc trong học hình học. Chúng ta thường gặp nó trong các đề bài toán hình học hay bài tập vẽ hình. Trong bài viết này, bambooschool.edu.vn sẽ giúp các bạn tìm hiểu về đặc điểm, tính chất của hình bình hành cùng với 5 cách chứng minh hình bình hành thông qua các bài tập minh họa.

Hình bình hành là gì?

Hình bình hành (hay còn gọi là hình tứ giác đều) là một hình học phẳng có bốn cạnh song song và bằng nhau, và các góc bên đối diện bằng nhau. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường chéo và chia hình thành bốn tam giác đồng dạng.

Các đặc điểm quan trọng để chứng minh hình bình hành bao gồm:

• Các cạnh đối diện song song.
• Các góc đối diện bằng nhau.
• Đường chéo là một đoạn thẳng nối hai đỉnh không liền kề của hình bình hành.

Hình bình hành là một dạng đặc biệt của tứ giác, và nó có nhiều ứng dụng trong hình học và toán học, cũng như trong các lĩnh vực khác như cơ học, điện tử, và thiết kế.

Đặc điểm để chứng minh hình bình hành

Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Đường chéo: Hình bình hành có hai đường chéo chia nó thành bốn tam giác đồng dạng và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Điểm cắt của đường chéo là trung điểm của hình bình hành.

 

 

Diện tích: Diện tích của hình bình hành có thể được tính bằng cơ sở nhân với chiều cao. Công thức tính diện tích S = a * h trong đó a là cạnh đáy của hình bình hành và h là chiều cao từ đỉnh xuống đáy của hình.

Tính chất hình bình hành

• Các cạnh đối diện song song và bằng nhau: Các cạnh của hình bình hành được đặt đối diện nhau và có cùng chiều dài. Điều này đồng nghĩa rằng hai cạnh đối diện của hình bình hành là song song.
• Các góc đối diện bằng nhau: Các góc của hình bình hành cũng đối xứng với nhau. Cặp góc đối diện có cùng kích thước, tức là góc 1 và góc 3 có kích thước giống nhau, và góc 2 và góc 4 cũng giống nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm: Điểm cắt của hai đường chéo của hình bình hành nằm ở trung điểm của cả hai đường chéo. Điều này có nghĩa là các đoạn đường từ trung điểm đến các đỉnh của hình bình hành có cùng chiều dài.

• Tam giác đồng dạng: Hình bình hành có tứ giác tạo thành từ các đoạn đường chéo của nó sẽ tạo ra bốn tam giác đồng dạng (tam giác có các góc tương tự và tỷ lệ các cạnh tương tự).
• Diện tích: Diện tích của hình bình hành có thể được tính bằng cơ sở nhân với độ dài đường cao. Công thức tính diện tích S = cơ sở x đường cao.
• Đối xứng: Hình bình hành có trục đối xứng bằng đường chéo. Nghĩa là nếu bạn gấp hình bình hành theo đường chéo, bạn sẽ có một hình bình hành khác, hoàn toàn trùng với hình gốc.
• Hình bình hành đặc biệt: Các dạng đặc biệt của hình bình hành bao gồm hình vuông (có cả bốn góc vuông) và hình chữ nhật (có cặp góc đối diện vuông).

5 cách chứng minh hình bình hành

Chứng minh tứ giác là hình bình hành khi có 2 cặp cạnh đối song song

Cho hình bình hành ABCD. Có AB // DC & AD // BC

<=> ABCD là hình bình hành (theo tính chất các cặp cạnh đối song song với nhau).

Chứng minh tứ giác là hình bình hành khi có 2 cặp cạnh đối bằng nhau

✔ Cho tứ giác ABCD. 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Có tam giác ABC và tam giác ADC:

AD = BC

AB = CD

✔ Trong đó, cạnh chung giữa hai tam giác là AC => Tam giác ABC = tam giác ADC (theo tính chất cạnh.cạnh.cạnh)

✔ Khi hai tam giác bằng nhau, ta có:

Góc BAC = góc DAC (góc tương ứng). 2 góc này ở vị trí so le trong => BC // AD (1)

Góc CAB = góc ACD (góc tương ứng). 2 góc này ở vị trí so le trong => DC // AB (2)

✔ Từ (1) và (2), ta có tứ giác ABCD là hình bình hành.

Chứng minh tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

Cách chứng minh hình bình hành thông qua 1 tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là gì?

✔ Từ định nghĩa, tính chất của hình bình hành, ta có:

AB // CD

AB = CD

AI = IB

DK = KC

=> AI // KC và AI = KC

Chứng minh tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành

Cách chứng minh hình bình hành thông qua 1 tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau là gì?

✔ Cho tứ giác ABCD có tam giác ABD = tam giác BCD & tam giác ABC = tam giác ADC.

✔ Ta có:

Tam giác BCD = tam giác BAD (theo lý thuyết) => góc BCD = góc BAD (1)

Tam giác ABC = tam giác ADC (theo lý thuyết) => góc ABC = góc ADC (2)

✔ Từ (1) và (2), do các góc đối bằng nhau nên ta chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành.

Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm là hình bình hành

Cách chứng minh hình bình hành thông qua 1 tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm là gì?

✔ Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O => O là trung điểm của AC và BD.

Ta có OA=OC và OB=OD.

✔ Xét tam giác AOD và tam giác COB có:

OA = OC

Góc AOD = góc BOC (đối đỉnh)

OB = OD

=> tam giác AOD = tam giác COB (theo tính chất cạnh – góc – cạnh)

=> AD = BC (1).

Góc DAO = góc BCO => AD // BC (2)

✔ Từ (1) và (2) => tứ giác ABCD là hình bình hành.

Các bài tập về hình bình hành có giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất để chứng minh hình bình hành dựa trên các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

1. a) BE = DF;                               b) BE//DF

Lời giải:

1. a) Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC

Mà AD = BC do ABCD là hình bình hành.

Do đó:

Lại có do ABCD là hình bình hành:

Xét tam giác ABE và tam giác CDF có:

=> ΔABE = ΔCDF (c – g – c)

=> BE = DF (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng)

1. b) Xét tứ giác EBFD có:

(chứng minh trên)

Nên tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

=> BE // DF

Dạng 2. Chứng minh hình bình hành từ một tứ giác

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

1. a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;
2. b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;
3. c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;
4. d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;
5. e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và tại K. Chứng minh hình bình hành là tứ giác AHCK.

Lời giải:

Vì tứ gác ABCD là hình bình hành:

Vì AD // BC nên (hai góc so le trong)

Ta có:

Xét tam giác AHD và tam giác CKB có:

=> ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)

=> AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

=> tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của LE.

Vì D là trung điểm của AB, L là trung điểm của AO nên LD là đường trung bình của tam giác AOB.

Vì N là trung điểm của OC, E là trung điểm BC nên NE là đường trung bình của tam giác OBC

Từ (1) và (2)

Xét tứ giác DENL có:

NE // LD

NE = LD

Nên tứ giác DENL là hình bình hành

=> Hai đường chéo DN và LE cắt nhau tại trung điểm I của của LE (*)

L là trung điểm của AO, M là trung điểm của OB nên LM là đường trung bình của tam giác OAB

F là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC nên FE là đường trung bình của tam giác ABC

(4)

Từ (3) và (4)

Xét tứ giác LMEF có:

FE // LM

FE = LM

Nên tứ giác LMEF là hình bình hành

=> Hai đường chéo MF là LE cắt nhau tại trung điểm I của LE (**)

Từ (*) và (**) ta có EL, FM, DN đồng quy (do cùng đi qua trung điểm I của EL)

Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về hình bình hành, đặc điểm, tính chất của nó, cùng với 5 cách chứng minh hình bình hành thông qua các bài tập minh họa. Hi vọng rằng những kiến thức và phương pháp mà Bamboo School Chia sẻ trình bày sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về hình bình hành và áp dụng chúng trong các bài toán hình học.