Số phức là gì? Phân loại và một số bài tập minh hoạ về số phức

Số phức là một trong những phần quan trọng trong thi toán THPT Quốc Gia. Cùng Bamboo tìm hiểu về số phức và một số bài toán liên quan đến số phức nhé!

Số phức là gì? Khái niệm của số phức

Số phức trong tiếng anh có nghĩa là Complex Number. Số phức là những giá trị trong không gian 2 chiều bao gồm trục thực và trục ảo. Tập số phức gồm các số có dạng z= a+bi.

Trong đó: a và b là các số thực và i là đơn vị ảo thỏa mãn i²=-1.

Hai số phức bằng nhau là gì?

Hai số phức bằng nhau với điều kiện phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng cũng bằng nhau.

Phân loại số phức

Số phức có 5 loại chính bao gồm:

Số phức thuần ảo

Khi phần thực a = 0 thì Z = bi (thuộc R). Khi đó, Z là số thuần ảo.

Số phức thuần thực

Khi phần ảo b = 0 thì Z = a (thuộc R). Khi đó, Z là số thuần thực

Số vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo khi 0 = 0 + 0i.

Số phức liên hợp

Một số tính chất của số phức liên hợp:

Số phức lượng giác

Số phức z = a + bi là dạng đại số của z .

Số phức z = r (cosφ+isinφ) ⁡ là dạng lượng giác của z

Trong đó:

r là mô đun của số phức.
φ là acgumen của số phức

Môdun của số phức

Modun của số phức z=a+bi (a,b∈R) là căn bậc hai số học (hay căn bậc hai không âm) của a²+b².

Biểu diễn hình học của số phức

Trong mpOxy, mỗi điểm M(a;b) hay vectơ = (a ; b) biểu diễn số phức z = a + bi,

Khi đó Ox là trục thực, Oy là trục ảo và (Oxy) là mặt phẳng phức.

Phép toán về số phức

Phép cộng, trừ số phức

Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi

Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)

Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

Phép nhân

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay

trong kết quả nhận được:

Phép chia

Quy tắc thực hiện phép chia hai số phức: Thực hiện phép chia là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của (a+bi)

Căn bậc hai của một số phức

Căn bậc hai của số phức w là số z thoả z2 = w hay z là một nghiệm của phương trình z2 – w = 0.

Do đó:

– w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0.

– w là số thực dương a, có hai căn bậc hai đối nhau là

– w là số thực âm a, có hai căn bậc hai đối nhau là

– Trường hợp tổng quát, w = a + bi (w ≠ 0) sẽ có đúng hai căn bậc hai đối nhau dạng x + yi mà x, y là nghiệm của hệ:

Phương trình bậc 2 của số phức

Xét phương trình bậc hai Xét biệt số, ta có:

Nếu xét trên tập số thực thì phương trình vô nghiệm.
Nếu xét trên tập số phức thì phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức

Sự khác nhau giữa số thực và số phức

Số thực và Số phức là thuật ngữ thường được dùng trong Lý thuyết số. Số phức là một hỗn hợp không đồng nhất hoạt động bằng trục phẳng phức và trục hoành
Số thực là các số tự nhiên có thể đếm được, những số có thể được mô tả trong một dòng vô hạn hay một dòng thực trong đó tất cả các số được biểu diễn bằng các điểm, các số nguyên cách đều nhau. Hay nói cách khác, các điểm trên một dòng dài vô hạn gọi là trục số.. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được xác định bằng cách biểu diễn thập phân vô hạn, chẳng hạn như số 8.632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp được tính bằng một phần mười giá trị của số trước